ความคิดทางคณิตศาสตร์ยุคสมัยอิยิปต์และโรมัน

   ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลน มาเป็นอารยธรรมที่ลุ่มแม่น้ำไนล์ในประเทศอิยิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่คือปิรามิด ที่แสดงความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์รู้จักกับการจารึกและเขียนลงบนแผ่นที่ทำจากต้นกก (papyrus) มีการใช้อักษรรูปภาพแสดงเรื่องราวต่าง ๆ

            ความเกี่ยวโยงทางความคิดก็ยังคงเกี่ยวกับธรรมชาติและวิถีความเป็นอยู่ หน่วยนับของชาวอียิปต์ยังคงใช้เลขจำนวนเต็ม และใช้เศษส่วน ดังนั้นตัวเลขทศนิยมยังไม่มีใช้ จากหลักฐานที่พบบนแผ่นพาไพรัสที่บ่งบอกว่า กษัตริย์ทรงพระนามว่า Ahmes ได้จารึก เรื่องราวเกี่ยวกับการคูณไว้ตั้งแต่เมื่อ 1650 ปีก่อนคริสต์ศักราช  แผ่นจารึกดังกล่าว เป็นตารางการคูณเลข 41 และ 59
 

	41    x    59
ตัวเลขเริ่มต้น --> 1+1 --> 2+2 --> 4+4 --> 8+8 --> 16+16 --> 32+32 -->	1 59 2 118 4 236 8 472 16 944 32 1888 64 3776	<-- ตัวเลขที่ต้องการคูณ <-- 59+59 <-- 118+118 <-- 236+236 <-- 472+472 <-- 944+944 <-- 1888+1888

            โดยที่ตัวเลข 41 มีค่าอยู่ระหว่าง 32 กับ 64 ดังนั้นจึงใช้วิธีการลบอย่างง่าย ๆ โดยนำค่าทางซ้ายมือของตารางที่มีค่าเท่ากัน หรือน้อยกว่ามาลบ แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาทำการลบต่อไป ดังนี้
 

41 - 32	=   9
9 - 8	=   1
1 - 1	=   0

            ดังนั้นการคูณ 59 ด้วย 41 จึงใช้หลักการ

                                                         41 = 32 + 8 +1

            โดยวิธีการบวกตัวเลขของตาราง ดังนี้
 

1	59
2	118
4	236
8	472
16	944
32	1888
64	3776

ผลลัพธ์

59+472+1888 = 2419

            ระบบการนับจำนวน เปลี่ยนแปลงมาใช้ฐานสิบ เพราะเหตุผลความคุ้นเคยกับการใช้นิ้วมือในการสื่อสาร เมื่อนิ้วมือมีสิบนิ้ว ระบบตัวเลขเบื้องต้นจึงใช้ตัวเลขสิบตัว และใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบในยุคต่อมา

            หากโลกของอีทีในภาพยนตร์มีนิ้วมือรวมกัน 8 นิ้ว โลกของอีทีก็น่าจะใช้ตัวเลขฐาน 8 ในการสื่อสารแสดงค่าจำนวนกัน

            ระบบการนับจำนวนจึงไม่จำเป็นต้องยึดติดกับฐานตัวเลขฐานใดฐานหนึ่ง เช่น เมื่อถึงยุคอิเล็กทรอนิกส์ ยุคที่คอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทมากขึ้น การใช้งานในยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็นเครื่องคำนวณ ใช้หลักการแทนตัวเลข ด้วยระดับสัญญาณไฟฟ้าสองระดับ ซึ่งแทนตัวเลข 0 และ 1 การคำนวณในระบบคอมพิวเตอร์จึงใช้หลักการของตัวเลขฐานสอง ระบบตัวเลขฐานสองจึงมีคุณค่าในยุคสมัยที่เครื่องคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทที่สำคัญ
 

ตัวเลขฐานสิบ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ตัวเลขฐานสอง	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

            ดังนั้นระบบจำนวนจึงเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจำนวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้มากมายมหาศาล ลองนึกดูว่าชีวิตเราขึ้นอยู่กับจำนวนอะไรบ้าง ตั้งแต่เกิดจนวาระสุดท้าย ชีวิตความเป็นอยู่เกี่ยวข้องกับตัวเลขทั้งสิ้น เราใช้ทรัพยากรทุกอย่างในการดำรงชีวิตเกี่ยวข้องกับจำนวนทั้งสิ้น

            การใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน มีพัฒนาการที่ต่อเนื่อง เช่น ชาวอิยิปต์โบราณ ใช้ขีดแทนตัวเลข ดังนี้
 

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100
ตัวเลขอียิปต์	|	||	|||	||||	|||  ||	||| |||	||||  |||	|||| ||||	||| ||| |||

 
            สำหรับชาวโรมัน มีวิธีการเขียนตัวเลขแทนจำนวนที่ต่างกัน ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	50	100	500
ตัวเลขโรมัน	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	L	C	D

            สำหรับชาวจีนมีการใช้อักขระจีนแทนตัวเลขจำนวนมานานแล้ว และยังคงใช้จนถึงปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
ตัวเลขจีน

 ถ้ายี่สิบก็เขียนเป็น

             ที่น่าสังเกตคือในสังคมความเป็นอยู่ของแต่ละชาติจะคุ้นเคยกับตัวเลขต่างกัน เช่น ในหลักการของทางตะวันตก ใช้ตัวเลข เป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น 10000 ก็เรียก สิบพัน 100000 ก็เรียก หนึ่งร้อยพัน และถ้าเป็นล้านก็จะมีการแทน แต่ในสังคมจีน   ญี่ปุ่น   ใช้การนับตัวเลขถึงหลักหมื่น ถ้าจะแทนแสนก็จะเรียกว่าสิบหมื่น เป็นต้น

             ขอบเขตของตัวเลข หรือการนับจำนวนในสมัยอียิปต์ และโรมันยังไม่มีเลขศูนย์ และยังไม่ใช้ค่าทศนิยม แต่จะใช้เศษส่วนเป็นหลัก ดังนั้นชาวอียิปต์โบราณจะเปรียบเทียบขนาดจำนวนของเศษส่วนได้คล่องกว่า ลองนึกดูว่า ถ้าเราได้เลขเศษส่วนหลาย ๆ จำนวน จะจัดเรียงจากมากไปหาน้อยได้อย่างไร

             ในปัจจุบันเราใช้เลขทศนิยม หรือเลขฐานสิบที่มีการเพิ่มจำนวนเป็นสิบเท่าของแต่ละหลัก และมีการแทนจำนวนที่มีค่าน้อยมากหรือมาก ๆ ได้ด้วยขนาดเป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น

10	100	1,000	10,000	1,000,000	1,000,000,000	1,000,000,000,000
ten	hundred	thousand	ten thousand	million	billion	trillion

            สำหรับทางด้านวิทยาศาสตร์ที่มีการแทนตัวเลขจำนวน เราใช้

จำนวนที่มีค่ามากขึ้น กิโล =   103 เมกะ =   106 จิกะ =   109 เทรา =   1012

จำนวนที่มีค่าน้อยลง มิลลิ =   10-3 ไมโคร =   10-6 นาโน =   10-9 พิโค =   10-12

               การแทนตัวเลขจำนวน จึงหันมาใช้ระบบการนับจำนวนแบบฐานสิบ และใช้ระบบทศนิยม ทำให้สะดวกต่อการใช้ การเปรียบเทียบ และสร้างความคุ้นเคย หรือนำมาใช้ประโยชน์ในทางสื่อสารกันได้ง่าย

             แหล่งอารยธรรมของอียิปต์ที่เหลือให้เห็นจนถึงปัจจุบัน คือ ปิรามิด ชาวอียิปต์มีความเชื่อเกี่ยวกับชีวิตหลังการตาย เขาเชื่อว่าเมื่อผู้คนตาย ดวงวิญญาณยังคงอาศัยอยู่ในโลก ดังนั้นชาวอียิปต์จึงยังคงเก็บร่างไว้ หลุมฝังศพของชาวอียิปต์จึงเป็นเรื่องสำคัญ มีวิทยาการเก็บรักษาร่างไว้ ที่เรียกว่า มัมมี่

             วิทยาการทางด้านความคิด และการคำนวณได้รับการนำมาใช้ในการสร้างปิรามิด ซึ่งเป็นหลุมฝังพระศพของกษัตริย์ ปิรามิดที่มีชื่อเสียงและยังถือว่าเป็นสิ่งมหัศจรรย์ของโลกสิ่งหนึ่ง คือปิรามิดที่เมืองกิซ่า ซึ่งอยู่ทางฝั่งตะวันตกของแม่น้ำไนล์ การคำนวณของชาวอียิปต์มีความก้าวหน้ามาก โดยหลักฐานจากกลุ่มปิรามิดที่กิซ่า สามปิรามิด มีความลาดเอียงด้วยมุม 51 องศา 51 ลิบดา    52 องศา 20 ลิบดา และ 51 องศา ซึ่งความลาดเอียงนี้ถือได้ว่าเท่ากัน

             จากหลักฐานแผ่นจารึก Rhind Papyrus ที่มีชื่อเสียง เพราะเป็นแผ่นจารึกบนกระดาษต้นกก ที่ทำขึ้นในสมัยฟาโรห์ โดยมีปัญหาและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 87 ปัญหา ทำให้ทราบวิธีการคำนวณตัวเลขต่าง ๆ ของชาวอียิปต์ ชาวอียิปต์ยังคงใช้ตัวเลขจำนวนเต็ม และคิดแบบเศษส่วน มีวิธีการคิดแบบเศษส่วนที่น่าสนใจมาก

             มาตราวัดความยาวของชาวอียิปต์ก็อาศัยชีวิตความเป็นอยู่ และสิ่งแวดล้อมเป็นหน่วยวัดความยาว หน่วยวัดที่ชาวอียิปต์ใช้เป็นดังนี้
 

cubit	เป็นระยะความยาวของข้อศอกจนถึงปลายนิ้วกลาง ซึ่งแต่ละคนจะมีความยาวไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงมีการวางมาตรฐาน cubit ขึ้นมา คือ               royal cubit มีความยาวประมาณ 20.6 นิ้ว               short cubit มีความยาวประมาณ 17.72 นิ้ว  ต่อมาชาวกรีกใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 18.22 นิ้ว  ชาวโรมันใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 17.47 นิ้ว
palm	คือระยะ 1/7 cubit
finger	คือระยะ 1/4 palm ดังนั้น 1 cubit มีค่าเท่ากับ 28 finger
hayt	มีค่าความยาวเท่ากับ 100 cubits
remen	คือระยะทางครึ่งหนึ่งของเส้นทะแยงของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านแต่ละด้านเท่ากับ 1 cubit
khet	เป็นการวัดความยาวเพื่อคำนวณพื้นที่ โดย 1 khet มีค่าเท่ากับ 10000 cubit และ 1 setat คือหนึ่ง square khet
hekat	เป็นมาตราปริมาตรที่ใช้ตวงวัดความจุของข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ ซึ่งหนึ่ง hekat มีค่าประมาณ 292.24 ลูกบาศก์นิ้ว
hinu	มีค่าประมาณ 1/10 ของ hekat
khar	มีค่าเท่ากับ 20 hekats

             ความเป็นอยู่ของผู้คนเกี่ยวข้องกับการทำการเกษตร การเพาะปลูก เมื่อดำเนินการตั้งถิ่นที่อยู่อาศัย ก็ต้องมีการคำนวณพื้นที่ มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตที่ได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ และเป็นที่มาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้

             ลองนึกดูว่า ทำไมชาวบาบิโลเนียจึงแบ่งเวลาออกเป็น 24 ชั่วโมงเท่ากับหนึ่งวัน และยังเข้าใจฤดูกาล

             ชาวอียิปต์ ได้แบ่งฤดูกาลออกเป็นสามฤดูกาล โดยแบ่งเดือนออกเป็น 12 เดือน เดือนละ 30 วัน และมีเดือนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 35 วัน หรือหนึ่งปีของชาวอียิปต์มีค่าเท่ากับ 365 วัน ได้ค่าเกือบเท่ากับการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ ชาวอียิปต์แบ่งฤดูกาลเป็น 3 ฤดู คือ ฤดูการเพาะหว่าน (sowing)  ฤดูการเจริญเติบโต (growing)  และฤดูการเก็บเกี่ยว (harvest)

             ชีวิตความเป็นอยู่ของชนทุกชาติจะคุ้นเคยกับหน่วยปริมาณ และมาตราวัดที่แตกต่างกันออกไป

             ชาวไทยคุ้นเคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เส้น มาก่อน ทำให้หน่วยวัดพื้นที่เป็นไร่  เป็นงาน อย่างไรก็ดีหน่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง เป็นยาม

             ในแต่ละชาติ แต่ละภาษาจึงมีมาตรฐานปริมาณของตนเอง มีหน่วยเงินตรา หรือหน่วยใช้ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ที่แตกต่างกัน แต่เมื่อมีการคบค้าสมาคมกันระหว่างประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทำให้การดำเนินชีวิตที่ต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นที่ยอมรับกันทั่วโลก

             เช่นหน่วยวัดที่ใช้สากลในเรื่องของเวลา วันที่ ระยะทาง ปริมาตร น้ำหนัก หรือแม้แต่มาตรฐานพิเศษบางอย่างที่เกิดขึ้นมาพร้อมกับการพัฒนาเทคโนโลยี เช่น หน่วยวัดปริมาณกระแสไฟฟ้า วัดพลังงาน เป็นต้น

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ที่มา : http://web.ku.ac.th