ระบบจำนวนจริง

ลบ แก้ไข

• ระบบจำนวนจริง

     จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

     1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

     2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
 เขียนแทนด้วย 0.5000...
 เขียนแทนด้วย 0.2000...
 
 
  
• ระบบจำนวนตรรกยะ
     จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

     1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

     2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

   
• ระบบจำนวนเต็ม
     จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
          I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
         I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

         จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

 
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
     นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
 x2 = -1 ∴ x = √-1 = i
 x2 = -2∴ x = √-2 = √2 i
 x2 = -3∴ x = √-3 = √3 i

     จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
    
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

    5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

     6. สมบัติการแจกแจง

               a( b + c ) = ab + ac

               ( b + c )a = ba + ca

     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
  
ทฤษฎีบทที่ 1กฎการตัดออกสำหรับการบวก
 เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

 

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

  
ทฤษฎีบทที่ 2กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
 เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
 ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
  
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 a · 0 = 0
 0 · a = 0
  
ทฤษฎีบทที่ 4เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 (-1)a = -a
 a(-1) = -a
  
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
 ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
  
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 

a(-b) = -ab

 (-a)b = -ab
 (-a)(-b) = ab
  
      เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
  
• การลบจำนวนจริง
  
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
 a- b = a + (-b)
 นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
  
• การหารจำนวนจริง
  
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
 
= a(b-1)
 
นั่นคือคือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

บทนิยามสมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
 

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
  
ตัวอย่างเช่น
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
 4x2 + 4x +1 = 0
 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
  
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
  
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
 การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
 
นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
  
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
 
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
 แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
 นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
  
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
 ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
 (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
 (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
  
 ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
       1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
 f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 
      2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
 จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
       3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
 ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 
= x2 - x - 2
           x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
                                    = (x-1)(x-2)(x+1)
 x3 - 2x2 - x + 2 = 0
 (x-1)(x-2)(x+1) = 0
                        x = 1, 2, -1
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
 ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
                                     = (x-1)(x-3)(x-6)
 x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
 (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
                        x = 1, 3, 6
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
 ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
            = 27 - 9 - 15 - 3
            = 0
 ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
                            = (x-3)(x+1)(x+1)
 x3 - x2 - 5x - 3 = 0
 (x-3)(x+1)(x+1) = 0
                         x = 3, -1
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
 ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
            = 16 - 12 - 34 +30
            = 0
 ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
                                      = (x-2)(2x - 5)(x+3)
 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
 (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
 
x =2,
, -3
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
  ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
            = -48 + 44 + 8 - 4
            = 0
 ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
                                     = (x+2)(3x-2)(2x+1)
 6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
 (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
 
x = -2,
,
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, ,}

บทนิยามa < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b
 a > b     หมายถึง    a มากกว่า b
   
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
 กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 1.สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
 2.สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
 3.จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
  a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
  a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
 4.สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
  ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
  ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
 5.สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
 6.สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
  ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
  ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
   
บทนิยาม
a ≤ b หมายถึงa น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึงa มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c หมายถึงa < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึงa ≤ b และ b ≤ c

• ช่วงของจำนวนจริง
 กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
 1. ช่วงเปิด (a, b)
            (a, b) = { x | a < x < b }
 
  
 2. ช่วงปิด [a, b]
            [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
 
  
 3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
           (a, b] = { x | a < x ≤ b }
 
  
 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
           [a, b) = { x | a ≤ x < b }
 
  
 5. ช่วง (a, ∞)
           (a, ∞) = { x | x > a}
 
  
 6. ช่วง [a, ∞)
           [a, ∞) = { x | x ≥ a}
 
  
 7. ช่วง (-∞, a)
          (-∞, a) = { x | x < a}
 
  
 8. ช่วง (-∞, a]
          (-∞, a] = { x | x ≤ a}
 
  
• การแก้อสมการ
      อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
      คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
      เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
  
 หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
 1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
      ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
      ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
      ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ x + 3>12
 x + 3 + (-3) >12 + (-3)
  x>9
 เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทำ 2x + 1<9
 2x + 1 + (-1) <9 + (-1)
  2x<8
  
(2x)
<
(8)
  x<4
 เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ 4x - 52x + 5
  4x - 5 + 5 2x + 5 + 5
  4x2x + 10
  4x - 2x 2x + 10 - 2x
  2x10
  
(2x)
(10)
  x5
 เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
-------------------------------------------------------------------
 
 หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง
 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ
 1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0
 
2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0
 3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0
 4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0
 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0
 6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0
 
7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0
 
8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0
 
9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้> 0 หรือ = 0
 
10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้< 0 หรือ = 0
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0
วิธีทำ ถ้า (x - 3)(x - 4)>0 แล้วจะได้
  x - 3 >0 และ x - 4 > 0
  x>3 และ x > 4
 
 เมื่อ x - 3 >0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
  หรือ x - 3 <0 และ x - 4 < 0
  x<3 และ x < 4
 
 x - 3 <0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ
 { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0
วิธีทำ ถ้า (x - 3)(x - 4)<0 แล้วจะได้
  x - 3 >0 และ x - 4 < 0
  x>3 และ x < 4
 
 เมื่อ x - 3 >0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4
  หรือ x - 3 <0 และ x - 4 > 0
  x<3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
 
 ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ
 { x | 3 < x < 4 } = (3, 4)
-------------------------------------------------------------------
จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า< 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า

≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b

8. ถ้า≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

 

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
                       
 

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

 
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
 1. |x| = |-x|
 2. |xy| = |x||y|
 
3.=
 4. | x - y | = | y - x |
 5. |x|2 = x2
 6. | x + y | ≤ |x| +|y|
 7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
     |x| < a หมายถึง -a < x < a
     |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
 8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
     |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
     |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
-------------------------------------------------------------------

 

       สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
 สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
  
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
 1. a เป็นขอบเขตบนของ S
 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
  
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
       ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
 จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
 จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
 จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]
 จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
 จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
  

       สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
 สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
  
บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R
 a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
 1. a เป็นขอบเขตบนของ S
 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
  
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
       ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
 จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
 จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
 จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]
 จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
 จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
  

• การหารลงตัว

บทนิยาม

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

       จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n

-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n

6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

 

สมบัติการหารลงตัว

ทฤษฎีบทที่ 1

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c

 

ทฤษฎีบทที่ 2

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b

 

ทฤษฎีบทที่ 3

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

 

การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

 

บทนิยาม

จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

       นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

ตัวอย่างเช่น

       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

• ขั้นตอนวิธีการหาร

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
                     a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

ตัวอย่างที่ 1กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูปa = bq + r

48 = 7 × 6 +6

  
q = 6 และ r = 6
 
• ตัวหารร่วม
ตัวหารร่วม

     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
     ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

ตัวหารร่วมมาก

     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
 
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
 
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ

     ในที่นี้ rk = 12
     
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
บทนิยาม

  จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

• ตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย
 

  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

 ตัวอย่างเช่นจงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
 วิธีทำพหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
 
 
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
 
 
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
  พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
  นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

 

ที่มา  http://www.thaigoodview.com/

 



โดย lovemelovemydog ดูบทความของฉันทั้งหมดที่นี่
วันที่ 19 ก.ย. 52 17:10 น.
เนื้อหานี้เปิดอ่านแล้ว 149,742 ครั้ง


ความคิดเห็นทั้งหมด (เปิดดู 149,742 ครั้ง ตอบ 0 ครั้ง)

แสดงความคิดเห็นของท่านที่นี่



คำฮิต

โรงเรียน7 วิชาสามัญ , enn gat pat 57 , open house ,Asean , twitter , เด็ก กยศ , กสพท , เกมคณิตศาสตร์ , เกมคิดเลข , อาเซียน , เกมส์คิดเลข , ขยายเวลา , ข่าวการศึกษาต่างประเทศ , ม.ต้น ,ข่าวอาเซียน , ค้นหาตัวเอง , ค่าย , คำขวัญวันเด็ก , เคล็ดลับเรียนเก่ง , ของเล่นเคลียริ่งเฮ้าส์ , โควตา , จุฬาฯ , ทุนการศึกษา , แท๊บเล็ต คาถาชินบัญชร ประชาคมอาเซียน , ประโยชน์ของอินเตอร์เน็ต , ประวัติวันครู , เฟสบุ๊ค , ม.ทักษิณ , อาเซียน 10 ประเทศ , ม.รังสิต 57 , มมส 57 มศว. , มหาวิทยาลัยนเรศวร , มหาวิทยาลัยพะเยา , รับตรง เกษตรศาสตร์ 57 , รับตรง มข 57 , ประกาศผลสอบ Admissions 57 ประถมศึกษารับตรงศิลปากร , เรียนต่อ , เรียนฟรี , ลาดกระบังฯ , เก็งคะแนน Admission 57 ,  เลื่อนเปิดเทอม ,อนุบาลวันตรุษจีน , สทศ , สมัคร clearing house , สอบตรง , อ.วิริยะ , เว็บโรงเรียนตัวอย่างงานวิจัย,ความคิดสร้างสรรค์ , เว็บสำเร็จรูป , เว็บหน่วยงาน , ทำเว็บฟรี , เว็บไซต์หน่วยงานราชการ , รายชื่อโรงเรียนทั่วประเทศ , โครงงานวิทยาศาสตร์ , สารสนเทศโทษของอินเตอร์เน็ต , GAT , PAT  , วันช้างไทย , วันสตรีสากล , MH17 , เครื่องบินตก  , โค้ชเช , วันสงกรานต์GAT/PAT ครั้งที่ 2/2557 , บัตรสอบ , เอเชียศึกษา , บันทึกความดี , แฟ้มสะสมผลงาน , วันจักรี , Portfolio , ประกาศผล GAT/PAT 57 , วันอาสาฬหบูชาสทศ.Admission 57 , วันภาษาไทยแห่งชาติ , มุดพกความดี , วันเข้าพรรษา , วันวิสาขบูชา , วันงดสูบบุหรี่โลก , ประกาศผลรับตรงโควตา ม.ศิลปากร ประกาศผลรับตรง ม.ธรรมศาสตร์ , U-NET , ประกาศผลธรรมศาสตร์ , ประกาศผลจุฬา , ประกาศผลศิลปากร โควตา 28 จังหวัด , Variety , เลิกบุหรี่ , ยืนยันสิทธิ์ , วันสุนทรภู่ , 

คำค้นหา

สอบตรง , อาเซียน , มหาวิทยาลัย ,โรงเรียน , ศึกษาต่อ , asean , ศึกษาต่อต่างประเทศ , ทุนการศึกษา , เรียนต่อ , ประชาคมอาเซียน, ข่าวบันเทิง, คำราชาศัพท์, สพฐ, กยศ, ความรู้ ประถมศึกษา , ข่าวอาเซียน วิชาการ, portfolio แฟ้มผลงาน , ความรู้ มัธยมปลาย , โครงงานวิทย์ , ประวัติอาเซียน , ความรู้ , วิชาการ , อาจารย์วิริยะ , สาขาแห่งอนาคต , ดูหนัง หนังใหม่ ดูหนังออนไลน์ movie , ฟังเพลง เพลงใหม่ ฟังเพลงออนไลน์ เพลงฮิต , ดูทีวีย้อนหลัง ดูทีวี ดูทีวีออนไลน์ , ดูดวง ดวง ทำนายฝัน ดูดวงรายวัน , รถยนต์มือสอง เครื่องเสียงรถยนต์ รถยนต์ , การ์ตูน รูปการ์ตูน ภาพการ์ตูน คลิปการ์ตูน , ข่าวบันเทิง ข่าวกีฬา ข่าวไทยรัฐ , ทวิสเตอร์ twitter วิธีเล่น twitter , เฟสบุ๊ค facebook คือ facebook วิธีเล่น facebook , ร้านอาหาร ร้านอาหารในกรุงเทพ ร้านอาหารแนะนำ ร้านอาหารเกาหลี , การ์ตูน , ซุปซิป ดารา , ผลบอล, ข่าว IT, หาเพื่อน , ข่าว, AEC, รถ, แบบทดสอบ, รูปภาพ , เกมส์รถแข่ง, เกมส์แต่งตัว หนังสือพิมพ์ , ข่าวประชาสัมพันธ์, วาเลนไทน์ , wallpaper , wallpaper น่ารัก , รับทำเว็บไซต์ , Hosting , รถมือสอง , รูปดารา , ประเมินโอกาสติดแอดมิชชัน , ภาพเคลื่อนไหว , ดูดวง , นิยาย , เกม , หางาน , แม่เหล็ก , เกมส์, สถานที่ท่องเที่ยว , สถานที่ท่องเที่ยวในประเทศไทย , Thailand Travel โหลดเพลง , งานราชการ , งาน , เกมส์จับคู่ , เกมส์จับคู่ผลไม้ , เกมส์ปลูกผัก , เกมขุดทอง , เกมส์แข่งรถ , เกมส์ทำอาหาร , ประกาศผลสอบ Admissions 57 , เว็บไซต์โรงเรียน,ความคิดสร้างสรรค์ , เว็บไซต์หน่วยงานราชการ , เก็งคะแนน Admission 57 ,  สารสนเทศ , วันวาเลนไทน์ , นิทาน , กสพท , วันศิลปินแห่งชาติ , รับตรง ม.เกษตร 57 , Varietyโทษของอินเตอร์เน็ต , GAT , PAT , วันช้างไทย , แฟ้มสะสมผลงาน , MH17 , เครื่องบินตก , ประกาศผล O-NET ม.6 , โค้ชเช , วันสงกรานต์ , บัตรสอบ , GAT/PAT ครั้งที่ 2/2557 , เคลียริ่งเฮาส์เอเชียศึกษา , อักษร ศิลปากร , วันโกหก , บันทึกความดี , Portfolioสมุดพกความดี , บริจาคโลหิตวันจักรี , โปรแกรมสร้างแฟ้มสะสมผลงาน , วันอาสาฬหบูชา , ประกาศผล GAT/PAT 57 , สทศ. , Admission 57 , วันภาษาไทยแห่งชาติ , วันฉัตรมงคล , วันเข้าพรรษา , วันวิสาขบูชา , วันงดสูบบุหรี่โลก , ประกาศผลรับตรงโควตา 28 จังหวัด ม.ศิลปากรประกาศผลรับตรง ม.ธรรมศาสตร์ ,  U-NET , ประกาศผลจุฬา , กฏอัยการศึก , รัฐประหาร , วาไรตี้ , ประกาศผล , เลิกบุหรี่ , ยืนยันสิทธิ์ , เคลียริ่งเฮ้าส์ , วันสุนทรภู่